Transmission de divisibilité - Corrigé

Énoncé

Soit \(a\) et \(b\) deux entiers naturels et \(p\) un nombre premier supérieur ou égal à \(3\) . Montrer que, si \(p\) divise \(a\) et \(a^2-2b^2\) , alors \(p\) divise \(b\) .

Solution

Comme \(p\) divise \(a\) , il existe un entier \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(a=pk\) .
De même, comme \(p\) divise \(a^2-2b^2\) , il existe un entier \(\ell \in \mathbb{Z}\) tel que \(a^2-2b^2=p\ell\) .

On a donc  \(p\ell=a^2-2b^2=(pk)^2-2b^2=p^2k^2-2b^2\)  donc \(p(pk^2-\ell)=2b^2\) .

Ainsi, \(p\) divise \(2b^2\) . Or \(p\) est un nombre premier supérieur ou égal à \(3\) , donc \(\mathrm{PGCD}(p;2)=1\) .
D'après le théorème de Gauss, on en déduit que \(p\)  divise \(b^2\) , et donc \(p\) divise \(b\) .